Explicando con ejemplos la regla de los signos

"Quedé desconcertado cuando comprobé que nadie me podía explicar
por qué menos por menos da más"
 (STENDALL 1783 - 1842, el más importante escritor del realismo francés)


Esta manera de explicar la regla de los signos con ejemplos particular solo es buena como un primer intento de aproximación. Sin embargo, esto no es del todo válido en las Matemáticas formales, ya que para ellas, un ejemplo particular no sirve para explicar una regla general. Pero de momento a nosotros nos vale...

Haciendo una analogía de la amistad:

Los amigos de mis amigos son mis amigos

Los amigos de mis enemigos son mis enemigos

Los enemigos de mis amigos son mis enemigos

Los enemigos de mis enemigos son mis amigos


Con ejemplos económicos:

3 × 5 = 15: Si te dan tres veces cinco euros tienes 15 euros.
3 × (-5) = -15: Si pagas tres veces una multa de cinco euros es como pagar una multa de 15 euros.
(-3) × 5 = -15: Que te pidan prestado tres veces cinco euros es como que te pidan 15 euros.
(-3) × (-5) = 15: No pagar tres veces una multa de cinco euros es como que te den 15 euros.


Con ejemplos automovilísticos:

Imaginemos que vamos conduciendo un vehículo por una ruta a cuarenta kilómetros por hora, al cabo de tres horas recorrimos:

3 x 40 = 120 (kilómetros hacia delante)

De manera similar podemos analizar que si venimos andando desde hace tiempo y quisieramos saber donde estábamos hace tres horas:

(-3) x 40 = -120 (kilómetros hacia atrás)

Y si en vez de ir hacia delante íbamos marcha atrás. Al cabo de tres horas habremos recorrido:

3 x (-40) = -120 (kilómetros hacia atrás)

Y ahora: ¿si venimos andando desde hace tiempo pero marcha atrás y quisieramos saber donde estábamos hace tres horas?

(-3) x (-40) = 120 (kilómetros hacia delante)

Diseñando un experimento: variables independientes, dependientes y controladas.

Las variables dependientes, independientes y las variables menos conocidas, las controladas, se usan en el estudio y en la práctica de las ciencias, las matemáticas y la estadística. Cada una tiene un uso y un papel diferente y tienen muchas aplicaciones dentro del mundo de las ciencias naturales y las matemáticas.

Variables independientes
Las variables independientes son aquellas variables que se conocen al inicio de un experimento. En un estudio sobre la pérdida de peso, por ejemplo, una variable independiente puede ser el número total de calorías consumidas por los participantes en el estudio. Como la variable independiente, o el número de calorías varían, los resultados del experimento van a cambiar. Otra forma de explicarlo es decir que el valor de la variable independiente es controlado por el diseñador del problema o del experimento.

Variables dependientes
Las variables dependientes son las que se crean como resultado del estudio o experimento. Si se toma el ejemplo de un estudio de la pérdida de peso, donde la variable independiente son las calorías consumidas, entonces una variable dependiente podría ser el peso total de los participantes del estudio. Así que el peso del participante en el estudio depende de la fluctuación de la variable independiente, que es lo que la hace dependiente.

Variables controladas
Las variables controladas son las variables que se mantienen constantes de manera que no afectan indebidamente la forma en que la variable independiente afecta a la variable dependiente. Así, con el estudio de la pérdida de peso como un ejemplo, una variable controlada podría ser el número de comidas consumidas por los participantes del estudio. La frecuencia con la que los participantes del estudio comen podría afectar la forma en que su cuerpo almacena la grasa, es por eso por lo que debe ser controlada o de lo contrario cambiará la forma como el número de calorías ingeridas afecta el peso de los participantes del estudio.

Interpretación de resultados: tablas y gráficas.


1- ¿Para qué nos sirven los gráficos y las tablas de datos?

Los gráficos y las tablas representan e interpretan información procedente de diferentes fuentes, de forma clara, precisa y ordenada. Casi todo tipos de información puede organizarse en una tabla de datos y ser representada en algún tipo de gráfico.
Según las características y la cantidad de datos, conviene utilizar uno u otro gráfico.

1.1- Gráficos
Los gráficos permiten visualizar la información contenida en las tablas de manera rápida y sencilla, demostrando con mayor claridad la  relación que estos datos tienen entre sí.

Los más conocidos son:

A- Gráficos de barras
Son aquellos que emplean rectángulos (barras) que se colocan paralelamente. La  altura indica la frecuencia de ese dato. Los gráficos de barras,  permiten representar información numérica en forma clara y ordenada, para comunicarla a otras personas. Con la información representada en los gráficos puedes interpretar rápidamente y de manera visual la información, facilitando su posterior análisis.

Gráficos de barras


Para construir un gráfico de barras, debes dibujar un eje vertical y otro horizontal. En el espacio libre se ubican las barra. Los datos numéricos van en el eje vertical (determinando la altura de las barras) y las categorías en el eje horizontal.

B- Gráficos de lineas o lineal
Es un conjunto de puntos conectados por una linea  en un sistema cartesiano, que muestran tendencias de una variable a lo largo de un período de tiempo.

Gráfico de lineas
Gráficos de lineas o lineal
C- Gráfico de torta o por sectores
Es un diagrama en círculo que representa visualmente información en tajadas imaginarias de una torta.
D- Pictogramas 
Son los más llamativos, ya que se representan por medio de dibujos, se reemplaza las barras por dibujos. Se usan para lograr el interés masivo del público.
Pictogramas
E- Histograma
Es un gráfico formado por barras contiguas, donde cada una representa un intervalo de valores, sirve para expresar información sobre datos que están agrupados.
1.2- Tablas
Son las que organizan los datos para mostrar qué tan seguido ocurre algo (frecuencia), permite organizar la información numérica recogida, por ejemplo, a través de una encuesta.

Tablas


2- Frecuencia
Tanto en las tablas como en los gráficos el número de veces que se repite un dato se denomina frecuencia de ese dato.
En la tabla se organizan todos los datos junto a las frecuencias que les corresponden.
Ej:

Frecuencia

En el gráfico o diagrama de barras, cada dato se representa mediante una barra cuya altura indica la frecuencia, es decir, cuantas veces se repite ese dato.
Ej:
gráfico o diagrama de barras


3- Ejemplo práctico
Para que comprendas mejor, revisaremos paso por paso un ejercicio:
A- Los niños de un curso, elaboraron una encuesta para saber cual película era la preferida por el curso, los resultados que obtuvieron fueron los siguientes:
- 12 alumnos dijeron: Los pitufos
- 16 alumnos dijeron: Thor
- 10 alumnos dijeron: Linterna verde
- 6 alumnos dijeron: Crepúsculo

Paso 1- Ahora esta encuesta la graficaremos en una tabla de frecuencia, para ello realizaremos una tabla con 4 casillas, que son las películas escogidas por los alumnos:

tabla de frecuencia

Paso 2- Ahora debemos agregar un título a la columna con el listado de las  películas  al que llamaremos “Películas” y la columna de la derecha donde aparecen los datos con la cantidad de alumnos  a quién le hicimos la encuesta, la llamaremos “Alumnos del curso”, además colocaremos los resultados:
tabla de frecuencia
Con estos dato podemos observar  de manera clara que la película que prefieren los alumnos es Thor.
Paso 3- Con los datos de la tabla podemos realizar un gráfico. Para realizar el gráfico, lo primero que debemos hacer es dibujar los ejes de coordenadas, uno vertical y el otro horizontal, como se ve a continuación:

tabla de frecuencia
En el eje vertical, vamos a representar el número de veces que han elegido los alumnos sus películas preferidas y en el eje horizontal, vamos a representar las películas.
Ahora solo tenemos que marcar en el gráfico los datos que hemos recogido en la tabla.
La moda es el dato que tiene mayor frecuencia, en este caso es la película Thor.


5- Graficos estadísticos
Existe una gran cantidad de gráficos para la representación de datos estadísticos, entre los principales tenemos:
a) Gráfico de Barras 
El gráfico de barras, como su nombre lo indica, está constituido por barras rectangulares de igual ancho, conservando la misma distancia de separación entre sí. Se utiliza básicamente para mostrar y comparar frecuencias de variables cuantitativas o comportamientos  en el tiempo, cuando el número de ítems es reducido.
Para elaborarlo debemos:
- Utilizar un sistema de coordenadas rectangulares y se llevan al eje de las "x" los valores que toma la variable en estudio y en el eje de las "y" se colocan las frecuencias de cada barra.
- Luego se construyen los rectángulos, tomando como base al eje de las abscisas, cuya altura será igual a cada una de las diferentes frecuencias que presentan las variables en estudio.
- La magnitud con que viene expresada la variable se observa en la longitud de las barras (rectángulos). Es importante destacar que solamente la longitud de las barras y no su anchura es lo que denota la diferencia de magnitud entre los valores de la variable. 
Todas las barras tienen que tener una anchura igual, separadas entre sí, preferiblemente por una longitud igual a la mitad del ancho de estas o distancias iguales entre barras.
Las barras se pueden graficar tanto verticalmente como horizontalmente. Se pueden elaborar barras compuestas y barras agrupadas.
grafico_de_barras.jpg (531×316)
Este tipo de gráfico se clasifican por:
- Barras simples: Compara valores entre categorías de una variable
- Barras dobles: Compara valores entre categorías de dos variables
- Barras múltiples: Compara valores entre categorías de dos o más variables.
- Barras verticales: Las categorías de la variable deben ubicarse en el eje x.
- Barras horizontales: Las categorías de la variable deben ubicarse en el eje y.
- Barras Aplicadas: Compara entre categorías el aporte de cada valor en el total.
b) Gráfico de sectores Circulares:
Usualmente llamado gráfico de torta, debido a su forma característica de una circunferencia dividida en sectores, por medio de radios que dan la sensación de un pastel cortado en porciones.
Se usa para representar variables cualitativas en porcentajes o cifras absolutas cuando el número de ítems no es superior a 5 y se quiere resaltar uno de ellos.
grafico_de_sectores.jpg (385×304)
c) Gráfico de líneas o Tendencia:
Usado básicamente para mostrar el comportamiento de una variable cuantitativa a través del tiempo. El gráfico de líneas consiste en segmentos rectilíneos unidos entre sí, los cuales resaltan las variaciones de la variable por unidad de tiempo.
Cuando se tienen varias variables a representar, con el fin de establecer comparaciones entre ellas (siempre que su unidad de medida sea la misma); se utiliza plasmarlos en un solo gráfico, el cual es el resultado de representar varias variables en un mismo plano. A este tipo de gráfico se le llama gráfico de líneas compuesto.
grafico_de_lineas.jpg (728×347)
Criterios para elaborar un gráfico de líneas:
1- La utilización de la escala que se utilizará en el plano cartesiano puede variar tomando en cuenta el fenómeno que se va a graficar. No es necesario que las abscisas (ejes x) y las ordenadas (eje y) del plano cartesiano lleven la misma escala; sin embargo, cuando las magnitudes de las variables no se diferencian sustancialmente es recomendable utilizar escalas iguales para obtener un gráfico con mayor precisión.
2- Cuando una de las variables en estudio se inicia con valores muy altos es recomendable no comenzar el eje por el origen cartesiano sino por un valor próximo o por el mismo valor por donde comienza la variable.
3- Es costumbre representar en el eje de las x del plano cartesiano la variable independiente del estudio que se realiza y en el eje de las y la variable dependiente.
En aquellos casos que se dificulta distinguir el tipo de variable se recomienda colocar en la ordenada del plano cartesiano las frecuencias de las variables en estudio y sobre la abscisa la variable cronológica (años, semanas, días, horas, etc.)
d) Histograma de frecuencias:
El histograma es un diagrama en forma de columna, muy parecido a los gráficos de barras. Se define como un conjunto de rectángulos paralelos, en el que la base representa la clase de la distribución y su altura la magnitud que alcanza la frecuencia de la clase correspondiente. Son barras rectangulares levantadas sobre el eje de las abscisas del plano cartesiano utilizando escalas adecuadas para los valores que asume la variable en la distribución de frecuencia.
El ancho de la base de los rectángulos es proporcional a cada clase de la distribución, de tal manera que, cuando la distribución tiene clases de igual tamaño, el tamaño de todos los rectángulos tendrá bases iguales. 
Los lados del rectángulo se levantan sobre los puntos del eje de las x que corresponden a los límites de cada clase y la longitud de los mismos será igual a la frecuencia que tenga esa clase, los lados por lo tanto corresponden a la frecuencia de cada clase de la distribución de frecuencia.
Cuando se elaboran gráficas estadísticas en el plano cartesiano es recomendable que en el eje de las ordenadas se representen las frecuencias y el  eje de abscisas las variables independientes.
e) Polígono de frecuencias:
Se utiliza básicamente para mostrar la distribución de frecuencias de variables cuantitativas. Para construir el polígono de frecuencia se toma la marca de clase que coincide con el punto medio de cada rectángulo de un histograma.
Pasos para elaborar un polígono de frecuencias:
1- Se dibuja un plano cartesiano.
2- Se traza sobre el eje de las abscisas, a distancias iguales, los puntos medios de las diferentes clases de la distribución de frecuencias.
3- Se levantan perpendiculares por cada una de las marcas de clase, con una longitud igual a la frecuencia de cada una de las clases que integran la distribución de frecuencia. Al final de cada perpendicular se marca un punto.
4- Los puntos resultantes se unen por medio de una línea recta obteniéndose una línea poligonal.
5- Con la finalidad de cerrar la línea poligonal se agrega una clase imaginaria con frecuencia cero a cada extremo de la distribución de frecuencia, por tal motivos ambos extremos del polígono se cortan con el eje de las abscisas.
También se puede elaborar un polígono de frecuencia después de haber graficado un histograma; si se determina el punto medio de cada rectángulo de un histograma y esos puntos medios se unen por medio de segmentos de recta dan como resultado el polígono de frecuencia.
grafico_histograma_poligono.jpg (555×412)
f) Histograma de frecuencias acumuladas:
Se utiliza básicamente para mostrar la distribución  de frecuencias acumulada de variables cuantitativas. Es una gráfica que se elabora con los valores de las frecuencias acumuladas (menor que y mayor que) y los límites de las clases de una distribución de frecuencia. El polígono de frecuencia acumulada se le conoce comúnmente como ojiva.
La ojiva es una representación gráfica que consiste en una línea, que puede ser ascendente o descendente y se utiliza para representar las distribuciones de frecuencias acumuladas menor que y mayor que, según los datos utilizados. En los estudios de análisis estadísticos la ojiva es de gran utilidad porque permite obtener con gran aproximación cierta información requerida, en un momento determinado.
grafico_ojiva.jpg (504×378)
 
EJERCICIOS PROPUESTOS:

1. Realiza un gráfico para analizar la información de la siguiente tabla:

2. Extrae los datos de ventas que aparecen en el siguiente artículo periodístico y organízalos en una tabla. A continuación representa dichos datos mediante un gráfico de barras.


DIARIO LA ESCUELA
jueves, 10 de octubre de 2010
Propuesta para mejorar las condiciones de la escuela Los Ocotes

Durante los tres últimos años, en la Escuela Los Ocotes, los estudiantes se pusieron a fabricar collares, pulseras y pendientes para ponerlos a la venta en su comunidad y recolectar fondos para mejorar el edificio. 

Durante el año 2008 fabricaron 25 collares,  50 pares de pendientes y 35 pulseras. Consiguieron ven derlo todo y en el 2009 decicieron fabricar 75 collares, 100 pares de pendientes y 70 pulseras. También ese año lo vendieron todo.

Al comprobar que cada año las ventas aumentaban, en el 2010 fabricaron 100 collares, 150 pares de pendientes y 100 pulseras. Por razones que se desconocen, ese año las ventas bajaron y se quedaron sin vender 40 collares, 60 pares de pendientes y 30 pulseras.

Debido a la poca venta de los artículos, se tomó la decisión de poner en marcha una investigación para averiguar las razones por las que bajaron las ventas.







Juegos de lógica

¿QUIÉN ES EL ASESINO? (Nivel medio)

La Sra. Buenafortuna ha sido asesinada el pasado martes entre las 20:00 y las 22:00 horas. ¿Sabrías llevar la investigación y descubrir al asesino?

    Estos son los sospechosos:

    Juan Vagancio, su sobrino, de 25 años, que ha terminado la carrera y no encuentra trabajo. Hasta el momento vivía del dinero de su tía y es el único heredero.

    El Dr. Matasanos, su médico desde hace 25 años. Mantuvo un idilio con la Sra. Buenafortuna hace algún tiempo.

    El Sr. Listillo, su abogado. También se encargaba de llevar sus negocios.

    La Srta. Angustias de la Pena, la secretaria. Era muy querida por la Sra. Buenafortuna. Es la novia de Juan Vagancio. Desde hace unos meses se llevan muy mal. La Srta. Angustias estaba pasando, además, por una época de depresión, debido a que hacía dos semanas se había muerto su mejor amiga: Dolores Luto.

    Estas son las coartadas:

    Juan dijo a la policía que estaba en una entrevista de trabajo en la empresa de transportes marítimos «Pez Gordo».

    El Dr. Matasanos dijo que estaba en hospital operando a una paciente.

    El Sr. Listillo dijo que había estado cenando con su prima, Dolores Luto, en el restaurante «Cometelotodo».

    A la Srta. Angustias de la Pena le había tocado en un sorteo un viaje de 15 días a Túnez. Mandó desde Túnez un telegrama de pésame al sobrino. 


RESPETABLES ANCIANOS (Nivel avanzado)

Los árboles y los hombres siempre han vivido historias íntimas. De ellos han hablado poetas, filósofos, artistas… Pero es que los árboles no son sólo un adorno romántico, sino que también son una pieza vital en el saneamiento del aire que respiramos. Si te gusta la naturaleza y quieres conocer árboles típicos de la península Ibérica, completa el cuadro que hay más abajo con las informaciones que te damos a continuación. Pon los nombres en orden alfabético.

    1. El pino silvestre alcanza una altura de hasta 40 metros.
    2. El haya o Fagus sylvatica tiene activo el crecimiento hasta los 125 años, pero su longevidad puede llegar a tres siglos.
    3. Las más viejas encinas tienen 700 años.
    4. La Juniperus thurifera, conocida como sabina, tiene muy duras raíces pero sólo unos 10 metros de alto.
    5. Los individuos adultos de haya suelen tener 5 metros menos que el pino.
    6. La sabina crece más lentamente que la encina, y vive 200 años menos que ésta.
    7. El tejo no suele ser muy alto, como la sabina, pero el diámetro de su tronco puede llegar a tener 3 metros.
    8. El Quercus ilex es emblemático del suelo ibérico, con su enorme y frondosa copa.
    9. Aunque en algunas partes del mundo se han encontrado Taxus baccata de más de 1500 años, lo general es que vivan el mismo tiempo que las encinas.
    10. La encina no es tan alta, sólo alcanza 15 metros, pero debajo de ella puede refugiarse todo un rebaño de ovejas.
    11. La especie Pinus sylvestris puede vivir 500 años.

El método científico



ETAPAS DEL MÉTODO CIENTÍFICO

OBSERVACIÓN
Los científicos tienen una gran capacidad de observación. Muchos descubrimientos importantes se producen al reparar en fenómenos que pasan desapercibidos para otras personas.
El musgo se desarrolla más en la cara norte del tronco de los árboles 

INTERROGACIÓN
La observación da paso a las preguntas, que deben formularse con claridad. Antes de responderlas, los científicos reúnen toda la información que encuentran sobre el fenómeno que ha llamado su atención.
¿Por qué muchas aves migratorias vuelan formando una v? 

FORMULACIÓN DE UNA HIPÓTESIS
La explicación que desarrollan para responder a las preguntas se llama hipótesis. Para que sea científica, debe someterse a una prueba experimental.
Si pienso que el grosor de los anillos de un árbol depende del agua que recibe cada año, ¿cómo puedo demostrarlo? 

EXPERIMENTACIÓN
 Unas veces consiste en la observación rigurosa de la naturaleza. Así se estudia, por ejemplo, el comportamiento de los animales. Otras veces, el científico provoca el fenómeno que estudia en un experimento controlado.
¿Los pulpos pueden fabricar herramientas? En Indonesia se observó una especie que se construye un refugio con cocos. 

ANÁLISIS DE DATOS
Una sola observación o el resultado de un solo experimento pueden obedecer a la casualidad. Cuantas más pruebas experimentales se reúnan y más científicos independientes participen en el proceso, mejor.
¿Cambia el clima? Para saberlo hacen falta millones de datos que recogen estaciones meteorológicas de todo el planeta. 

VERIFICACIÓN DE LA HIPÓTESIS
Si la hipótesis no logra explicar el resultado de los experimentos, hay que descartarla. El científico incorpora los datos de los experimentos a la información que tenía y vuelve a desarrollar una hipótesis nueva.
 ¿La temperatura afecta al tiempo de incubación? Se verifica incubando el mismo tipo de huevo a diferentes temperaturas. 

COMUNICACIÓN DE RESULTADOS
Lo que sabemos ahora es fruto del trabajo de millones de personas a lo largo de muchos siglos. Una parte fundamental del trabajo de los científicos consiste en comunicar sus descubrimientos a los demás.
 En el siglo XVII, la aparición de las primeras revistas científicas dio un impulso extraordinario al desarrollo de la ciencia.